확장 유클리드 알고리즘
확장 유클리드 알고리즘은 최대공약수와 함께 ax+by=gcd(a,b)를 만족하는 정수 계수 x,y를 구한다 정수론 알고리즘 분야의 대표적인 알고리즘 또는 핵심 계산 문제로, 자료 표현과 입력 조건에 맞는 계산 절차를 사용한다. 명시적인 수학적 불변식·상태 정의를 바탕으로 구현하므로 단순...
| 분류 | 알고리즘 · 정수론 알고리즘 |
|---|---|
| 핵심 문제 | 최대공약수와 함께 ax+by=gcd(a,b)를 만족하는 정수 계수 x,y를 구한다 |
| 방법 | 유클리드 나눗셈의 나머지와 함께 앞선 계수 관계를 갱신하거나 역추적한다 |
| 계산 비용 | 정수 연산 수 O(log min(|a|,|b|)) |
| 적용 조건 | 0과 음수, 계수 오버플로 처리를 명시해야 한다 |
| 관련 활용 | 모듈러 역원·선형 디오판토스 방정식·중국인의 나머지 정리 구현에 사용된다 |
| 관련 이론 | 자료구조, 계산 복잡도 |
| 참고 자료 | CP-Algorithms |
확장 유클리드 알고리즘은 최대공약수와 함께 ax+by=gcd(a,b)를 만족하는 정수 계수 x,y를 구한다 정수론 알고리즘 분야의 대표적인 알고리즘 또는 핵심 계산 문제로, 자료 표현과 입력 조건에 맞는 계산 절차를 사용한다. 명시적인 수학적 불변식·상태 정의를 바탕으로 구현하므로 단순한 명령어 조합과는 구별된다.[1]
계산 절차는 유클리드 나눗셈의 나머지와 함께 앞선 계수 관계를 갱신하거나 역추적한다. 최종 GCD가 1이면 모듈러 역원 계산에 사용할 수 있다. 각 단계의 상태가 무엇을 의미하는지 정의하고 초기값과 경계 입력을 검사하면 결과의 정확성을 증명하거나 테스트할 수 있다.
복잡도는 정수 연산 수 O(log min(|a|,|b|)) 적용 전제는 0과 음수, 계수 오버플로 처리를 명시해야 한다 실제 연산량·메모리 사용은 구현의 자료구조와 정수·실수 표현, 전처리 및 입력 크기에 따라 달라진다.
응용과 관련 기법을 보면 모듈러 역원·선형 디오판토스 방정식·중국인의 나머지 정리 구현에 사용된다. 같은 문제라도 최악 시간 보장, 메모리 요구 사항과 정밀도·확률적인 실패 가능성에 따라 적합한 알고리즘이 달라진다.[2]